Question

设椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若椭圆C的离心率为，的周长为8.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知直线与椭圆C交于两点，是否存在实数k使得以为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）存在，

【解析】

（I）根据椭圆离心率、椭圆的定义列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆的标准方程.

（II）设出两点的坐标，联立直线的方程和椭圆方程，计算判别式求得的取值范围，并写出根与系数关系，根据圆的几何性质得到，由此得到，由此列方程，解方程求得的值.

（I）由题意知，所以所求椭圆的标准方程是.

（II）假设存在这样的实数使得以为直径的圆恰好经过原点.

设，联立方程组，

消去得，

由题意知，是此方程的两个实数解，

所以，解得或，

所以.

又因为以为直径的圆过原点，所以，所以，

而， ，即，解得.

故存在这样的直线使得以为直径的圆过原点.