Question

已知函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）当时，若存在，使得成立，求实数a的取值范围.

Answer

（Ⅰ）当时，在单调递减，当时，在单调递增；（Ⅱ）.

【解析】

（I）先求得函数的定义域和导函数，对分成两种情况，讨论的单调区间.

（II）构造函数，将问题转化为在上的最小值小于0来求解.利用导数讨论在区间上的单调性的最小值，由此求得的取值范围.

（I）的定义域为

所以，当时，，在上递减；

当时，，所以，在上递增.

（II）在上存在一点使成立，

即函数在上的最小值小于0,

.

①当，即时，在上单调递减，

所以在上的最小值为，由，

得；

②当，即时，，不合乎题意；

③当，即时，的最小值为，故.

此时不成立.

综上所述，的取值范围是.