Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝，b²－a²＝c².

(1)求tanC的值；

(2)若△ABC的面积为3，求b的值．

Answer

（1）tanC＝2，（2）b＝3.

【解析】

（1）先根据正弦定理化边为角，再根据二倍角余弦公式以及三角形内角关系化为关于C角的方程，解得tanC的值；（2）先根据三角形面积公式得bc的值，再根据同角三角函数关系得sinC,由诱导公式可得sinB,再根据正弦定理可得b,c关系，解方程组可得b的值．

(1)由b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C.所以－cos2B＝sin2C.①

又由A＝，即B＋C＝π，

得－cos2B＝－cos2＝－cos＝sin2C＝2sinCcosC，②

由①②解得tanC＝2.

(2)由tanC＝2，C∈(0，π)得sinC＝，cosC＝，因为sinB＝sin(A＋C)＝sin，

所以sinB＝，由正弦定理得c＝b，又因为A＝， bcsinA＝3，

所以bc＝6，故b＝3.