Question

如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，且,为中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由平面，可得，再由正方形中，得，由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得，再由等腰三角形的性质可得，可得证；

（2）以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，再分别求出面的一个法向量和平面的一个法向量，再由向量的夹角运算可求得二面角的余弦值.

【解析】
（1）证明：平面，，

又正方形中，，平面，

又平面，，，是的中点，

所以，平面

（2）以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意知：

，

设平面的法向量为，则，

，令，得到，，

平面，，

又正方形中，，平面

又，

平面的一个法向量为，

设二面角的平面角为，由图示可知二面角为锐角，

则.二面角的余弦值为.