Question

若圆的内接矩形的周长最大值为．

(1)求圆O的方程；

(2)若过点的直线与圆O交于A，B两点，如图所示，且直线的斜率，求的取值范围．

Answer

（1）（2）

【解析】

(1) 设矩形在第一象限点为 (x，y) (x> 0，y> 0)，则，表示出矩形的周长，利用基本不等式求其最大值，根据等号的成立条件可得，进而可得圆的方程；

(2) )设直线AB：，，联立：，利用韦达定理求出和，利用单调性求出的取值范围.

【解析】
(1) 设矩形在第一象限点为 (x，y) (x> 0，y> 0)，则，

∴矩形周长 ，

∵ ， 

∴，  

∴，

当且仅当取“=”

∴矩形周长的最大值为，

∴r = 2，∴圆O的方程：

(2)设直线AB：， ,

联立：，

消去y并整理得，

∴，

∴， 

同理： 

∴

，

∵，

∴异号，

∴ 

∴ ，

∵，

∴，

∴.