Question

已知圆，A为圆O₁上任意一点，点D在线段上．，已知，．

(1)求点D的轨迹方程H；

(2)若直线与方程H所表示的图像交于E，F两点，是椭圆上任意一点．若OG平分弦EF，且，，试判断四边形OEGF形状并证明．

Answer

（1）；（2）平行四边形，见解析

【解析】

(1)由题可得，得D的轨迹是以为焦点的椭圆，求出，可得轨迹方程；

(2) 联立，利用韦达定理及弦长公式表示出，列方程求出的值，进而可得EF平分OG，从而判断四边形OEGF形状.

【解析】
(1) ∵，

∴DC为AB中垂线，

∴，

∴，

∴D的轨迹是以为焦点的椭圆，且 ，

 ，解得，

∴点D轨迹方程H：；

(2)联立，，

设 ，

∵OG平分EF，

∴由中点弦公式有，①

∴，

又G到EF距离为，

 ∴，

利用①以及有，

化为，

令，则 （*），观察有t = 1是一解，

∴，

又，∴，

又由，

∴ ，

∴方程（*）有唯一解t = 1即，

∴ ，

∴EF也平分OG，

故四边形OEGF对角线相互平分，四边形OEGF是平行四边形