Question

如图，为信号源点，、、是三个居民区，已知、都在的正东方向上，，，在的北偏西45°方向上，，现要经过点铺设一条总光缆直线（在直线的上方），并从、、分别铺设三条最短分支光缆连接到总光缆，假设铺设每条分支光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为1元/，设，（），铺设三条分支光缆的总费用为（元）.

（1）求关于的函数表达式；

（2）求的最小值及此时的值.

Answer

（1）；（2），.

【解析】

(1)对直线的斜率是否存在分类讨论，求出三点到直线的距离，铺设三条分光缆的总费用即可求关于的函数表达式；
(2)由（1）中的表达式利用换元法，利用基本不等式，可求的最小值及此时的值．

(1) 以点位坐标原点，为轴建立直角坐标系,

则，

当直线的斜率不存在，即时，

三点到直线的距离分别为10，20，5

所以此时=,

当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，,

三点到直线的距离分别为:，

所以

.

所以

(2) 当直线的斜率不存在时，=,

当直线的斜率存在时，

设，

当即时，=.

当即时，.

因为当时(当且仅当时取等号)

当时, (当且仅当时取等号)

所以的最小值为

此时.