Question

如图，在四棱锥中，侧棱平面，为的中点，，，，.

（1）求二面角的余弦值；

（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置，若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）存在，的中点.

【解析】

（1）作，以为原点，以 的方向分别为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量、平面的法向量即可得二面角的的余弦值；
（2）线段上存在点，使得平面”等价于垂直面的法向量.

作，以为原点，以 的方向分别为轴，轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

则,

设平面的法向量为，

由 ,有

则可以取

设平面的法向量为，

由 ,有

则可以取

所以.

由图可知, 二面角的余弦值为

(2) 由（1）可知面的法向量为,

“线段上存在点，使得∥平面”等价于,

，设,

则

由，得解得.

所以线段上存在点，即中点，使得平面.