Question

设数列共有项，记该数列前项中的最大项为，该数列后项中的最小项为，．

（1）若数列的通项公式为，求数列的通项公式；

（2）若数列满足，，求数列的通项公式；

（3）试构造一个数列，满足，其中是公差不为零的等差数列，是等比数列，使得对于任意给定的正整数，数列都是单调递增的，并说明理由．

Answer

（1），；（2），；（3）

【解析】

试题（1）由题意得：因为单调递增，所以，，所以，．本小题目的引导阅读题意，关键在于确定数列单调性（2）本题是逆问题，关键仍是确定数列单调性：因为，所以，可得即，又因为，所以单调递增，则，，所以，可得是公差为2的等差数列，（3）由上面两小题可知，构造数列为单调递增数列：等差数列的公差为正数，等比数列的首项为负，公比，若等比数列的首项为正，公比，由（1）知不满足数列是单调递增的

试题解析：（1）因为单调递增，所以，，

所以，．

（2）根据题意可知，，，因为，所以

可得即，又因为，所以单调递增，

则，，所以，即，，

所以是公差为2的等差数列，，．

（3）构造，其中，．

下证数列满足题意．

证明：因为，所以数列单调递增，

所以，，

所以，，

因为，

所以数列单调递增，满足题意．

（说明：等差数列的首项任意，公差为正数，同时等比数列的首项为负，公比，这样构造的数列都满足题意．）