Question

如图，三棱锥D-ABC中，，E，F分别为DB，AB的中点，且.

（1）求证：平面平面ABC；

（2）求点D到平面CEF的距离.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取BC的中点G，连接AG，DG，可证平面DAG，可得，再由，，可证，可得平面ABC，即可证明结论；

（2）由条件可得点D到平面CEF的距离等于点B到平面CEF的距离，求出三棱锥的体积和的面积，用等体积法，即可求解.

（1）如图，取BC的中点G，连接AG，DG，

因为，所以，

因为，所以，

又因为，

所以平面DAG，所以.

因为E，F分别为DB，AB的中点，所以.

因为，即，则.

又因为，所以平面ABC，

又因为平面DAB，所以平面平面ABC.

（2）因为点E为DB的中点，

所以点D到平面CEF的距离等于点B到平面CEF的距离.

设点D到平面CEF的距离为h，

因为，又因为平面ABC，

所以，

在中，.

所以，

在中，，

所以，

又因为，

所以，

而，

则.

所以点D到平面CEF的距离为.