Question

如图，已知，为的中点，分别以，为直径在的同侧作半圆，，分别为两半圆上的动点（不含端点，，），且，则的最大值为______．

Answer

【解析】

以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，求得的坐标，可得以为直径的半圆方程，以为直径的半圆方程，设出的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．

以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，可得
以为直径的半圆方程为

以为直径的半圆方程为（ ，
设

可得

即有

即为
即有 可得 ，即 ，
则

可得 即β时，

的最大值为，
故答案为．