Question

已知数列中，，，，且对时，有．

（Ⅰ）设数列满足，，证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）记，求数列的前项和．

Answer

（Ⅰ）证明见解析；；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）利用已知等式表示出和，整理可知，从而可证得数列为等比数列，根据等比数列通项公式求得；利用配凑的方式可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式，整理可得；（Ⅱ）将代入，整理可得：，利用累乘的方式可求得，进而可得；采用分组求和的方式，分别对用错位相减的方法求和，对采用裂项相消的方法求和，分别求和后加和即可得到结果.

（Ⅰ）由题意知：

又

数列是以为首项，为公比的等比数列

，即

数列是以为首项，为公差的等差数列

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，即：

则：，，……，

左右两侧分别相乘可得：

令

则

则