已知函数，．（Ⅰ）若在上是增函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）讨论函数的极值，并...

已知函数，．

（Ⅰ）若在上是增函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）讨论函数的极值，并说明理由；

（Ⅲ）若有两个极值点，，求证：函数有三个零点．

（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，无极值；当时，存在一个极大值和一个极小值；（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）利用得；利用导数求得的最小值，则；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数单调递增，无极值；当，可证得有两根，即有两根，从而可得函数的单调性，进而确定有一个极大值和一个极小值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知且；利用和表示，代入函数中，可表示出和；根据和设，通过导数可验证出单调递减，进而求得，，结合图象可证得结论. （Ⅰ）由得：在上是增函数在上恒成立即：在上恒成立设，则当时，；当时，即在上单调递减；在上单调递增即的取值范围为：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当时，在上是增函数，此时无极值；当时，令，即时，；；时，有两个根，设两根为，且可知：和时，；时，即在，上单调递增；在上单调递减在处取得极大值；在处取得极小值综上所述：当时，无极值；当时，存在一个极大值和一个极小值（Ⅲ）由（Ⅱ）知，有两个极值点，，则，且；又令，则则在上恒成立，即在上单调递减又时，；时，，当时，；当时，可得大致图象如下：有三个零点

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考点分析：

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已知数列中，，，，且对时，有．