Question

如图，平面平面，且，．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的余弦值．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）过点作，利用边角边可得≌，即可证明；（2）方法一，过点B作出平面ADC的垂线，即可找到线面角，利用等体积转化法可求出点B到平面ADC的距离，即可求出线面角的余弦值；方法二，建立空间直角坐标系，求出平面ADC的法向量，利用空间向量的方法即可求解.

（1）过点作，垂足为，连接，

因，，所以,

故≌，所以,即，

又 ,所以平面，又平面,故．

（2）方法一：不妨设，则，，所以,过点作平面，连接，

则即为直线与平面所成的角，

由等体积可得，

即，∴．

方法二 ：由（1）可得 ，所以以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系如图.

不妨设，则，，，,

设平面的法向量为，

，，

即有，

设直线与平面所成的角为，故，

∴．