Question

已知等差数列的前项和为，且，.数列满足，.

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和，并求的最小值.

Answer

（Ⅰ），；（Ⅱ），最小值.

【解析】

（Ⅰ）根据等差数列前项和为的公式和等差数列的性质，推得，，从而求出等差数列的公差，即可得出数列的通项公式为。利用累加法即可求得的通项公式。

（Ⅱ）利用错位相减法求数列的前项和，再利用数列的单调性求得的最小值。

（Ⅰ）由，得，.

故的公差，.

即数列的通项公式为.

当时，，

而，

故，即数列的通项公式为.

（Ⅱ），

，

上述两式相减，得

得.

设，显然当时，，，且单调递增.

而，，，故的最小值为.