Question

已知抛物线过点，且P到抛物线焦点的距离为2直线过点，且与抛物线相交于A，B两点.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）若点Q恰为线段AB的中点，求直线的方程；

（Ⅲ）过点作直线MA，MB分别交抛物线于C，D两点，请问C，D，Q三点能否共线？若能，求出直线的斜率；若不能，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）能，.

【解析】

（Ⅰ）根据题意，结合抛物线的性质，即可求出抛物线的方程为。

（Ⅱ）设，，设而不求利用点差法求出直线AB的斜率，再利用点斜式即可求出直线的方程。

（Ⅲ）设，，，，且.联立直线与抛物线方程，得到联立方程，再利用韦达定理以及M，A，C三点共线得出的数量关系，假设C，D，Q三点共线，构造关于 的等式，转化为的等式，进行求解即可得出结论。

（Ⅰ）由题意有，及，

解得.故抛物线的方程为.

（Ⅱ）设，，则， ，

两式相减得，即.

于是，，

（注：利用直线与抛物线方程联立，求得，同样得4分）

故直线l的方程为，即；

（Ⅲ）设，，，，且.

由，得，则， ，

由M，A，C三点共线，可得，化简得，即.

同理可得， ，

假设C，D，Q三点共线，则有，化简得，

进一步可得，，即，解得.

因此，当直线l的斜率时，C，D，Q三点共线.