Question

已知函数，其导函数设为.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数有两个极值点，，试用表示；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若的极值点恰为的零点，试求，这两个函数的所有极值之和的取值范围.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ） .

【解析】

（Ⅰ）根据题意，求出导数，解关于导数的不等式，即可求函数的单调区间。

（Ⅱ）根据有两个极值点，，由（Ⅰ）知，利用韦达定理以及极值点对应的导函数的值为0，得，，将表达成，再代入各项对应得值即可。

（Ⅲ）根据题意，解出的极值点，代入，可得与的等量关系，再结合（Ⅱ）中的不等关系解出的范围，将，这两个函数的所有极值之和用表达出来，构造一个新的关于的函数，利用导数，即可求，这两个函数的所有极值之和的取值范围。

（Ⅰ），.

若，，在上单调递增；

若，方程有两个不等实根，

在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 ；

（Ⅱ）因有两个极值点，，由（Ⅰ）知，

且，，.

于是，

.

（Ⅲ）由，则的极值点为.

于是，，即.显然，，则.

由（Ⅱ）知，，，则，解得或.

于是，.

故，的所有极值之和为，

因，若，则，在上单调递减，

故.

若，知时有，则在上单调递增，在上单调递减，

故.

因此，当时，所求的取值范围为.当时，所求的取值范围为，

综上，，这两个函数的所有极值之和的取值范围是 .