Question

已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为.

（1）求的值；

（2）求函数的对称轴方程；

（3）当时，方程有两个不同的实根，求m的取值范围．

Answer

(1) .(2) ;(3)

【解析】

（1）根据题意求出φ、ω的值，写出f（x）的解析式，计算的值；（2）由f（x）写出函数的解析式，求出对称轴方程；（3）若f（x）=m有两个不同的实根，则函数y=f（x）与y=m有两个不同的交点，令t=2x, ,则的图像与有两个不同交点即可求结果.

【解析】
（1）是偶函数，则φ﹣=+kπ（k∈Z），

解得φ=+kπ（k∈Z），

又因为0＜φ＜π，所以φ=，

所以=2cosωx；

由题意得=2•，所以ω=2；

故f（x）=2cos 2x，

因此=2cos =；

（2）由f（x）=2cos 2x，

得=，

所以，，

即，

所以函数的对称轴方程为；

（3）若f（x）=m有两个不同的实根，则函数y=f（x）与y=m有两个不同的交点，函数y=f（x）=2cos 2x，令t=2x, ,则的图像与有两个不同交点，由图像知

即m的取值范围是．