Question

已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为．

（1）求双曲线的方程；

（2）过双曲线上的任意一点，分别作这两条渐近线的平行线与这两条渐近线得到四边形，证明四边形的面积是一个定值；

（3）设直线与在第一象限内与渐近线所围成的三角形绕着轴旋转一周所得几何体的体积．

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）由焦点坐标和渐近线方程求得,进而求得双曲线方程；

（2）由题可知渐近线互相垂直,则四边形为矩形,则,利用点到直线距离公式求解即可；

（3）三角形绕着轴旋转一周所得几何体是一个以为半径,为高的圆锥,进而求解即可

【解析】
（1）设双曲线方程为,

,渐近线方程为,

,且,

,

双曲线的方程为

（2）渐近线方程为,

两条渐近线互相垂直,

四边形为矩形,

设,则,

,

四边形的面积是一个定值

（3）设在第一象限内与渐近线的交点N的横坐标,三角形绕着轴旋转一周所得几何体是一个以为半径,为高的圆锥,

因为,所以体积等于