Question

已知抛物线：，焦点，如果存在过点的直线与抛物线交于不同的两点.，使得，则称点为抛物线的“分点”．

（1）如果，直线：，求的值；

（2）如果为抛物线的“分点”，求直线的方程；

（3）证明点不是抛物线的“2分点”；

（4）如果是抛物线的“2分点”，求的取值范围．

Answer

（1）；（2）；（3）证明见解析；（4）

【解析】

（1）联立求得点,点的坐标,从而可求得三角形面积,进而求得；

（2）由可得,则,联立直线：与抛物线,由韦达定理可得与的关系,进而求得,从而得到直线方程；

（3）假设成立,设直线：,利用点到直线距离公式求得面积,整理可得,将直线与抛物线联立可得,故可证明假设不成立；

（4）设直线：,联立直线与抛物线得,则根据韦达定理可得与的关系,由也可以得到与的关系,二者结合可得,进而求解即可

【解析】
（1）联立得,则,,

所以,

,

所以,

即

（2）设.,不妨设,,设直线：,

因为,

所以,得,

将代入得,

所以,则,所以，

所以直线：,即

（3）设直线：（）,代入整理得,,

由韦达定理得,所以,

则点到直线：的距离,

由得,解得,

又（）,,消得,

将代入化简得,解得,不成立,

所以点不是抛物线的“2分点”．

（4）设,,不妨设,,

设直线：,

将直线代入得,

则,

由,得,解得,

所以,消得,解得．