Question

如图，是由两个全等的菱形和组成的空间图形，，∠BAF＝∠ECD＝60°.

（1）求证：；

（2）如果二面角B－EF－D的平面角为60°，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点，连接、，.利用菱形的性质、等边三角形的性质分别证得，，由此证得平面，进而求得，根据空间角的概念，证得.

（2）根据（1）得到就是二面角的平面角，即，由此求得的长.利用等体积法计算出到平面的距离，根据线面角的正弦值的计算公式，计算出直线与平面所成角的正弦值.

（1）取的中点，连接、，.在菱形中，

∵，∴是正三角形，∴，

同理在菱形，可证，∴平面，∴，

又∵，∴.

（2）由（1）知，就是二面角的平面角，即，

又，所以是正三角形，故有，

如图，取的中点，连接，则，又由（1）得，

所以，平面，且，又，在直角中，，

所以，设到平面的距离为，则

，

，所以，

故直线与平面所成角正弦值为.