Question

已知等比数列的公比，且，是的等差中项，数列的通项公式，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）证明：，.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）直接用等差数列，等比数列的公式计算得到.

（Ⅱ）直接利用裂项求和得到

，得证.

（Ⅰ）由是，的等差中项得

，

所以，

解得，

由，得，

解得或，

因为，所以.

所以，.

（Ⅱ）法1：由（Ⅰ）可得，.

，

.

法2：

由（Ⅰ）可得，.

我们用数学归纳法证明.

（1）当时，，不等式成立；

（2）假设（）时不等式成立，即

.

那么，当时，

，

即当时不等式也成立.

根据（1）和（2），不等式，对任意成立.