Question

已知函数.

（1）求在点处的切线方程；

（2）若方程有两个实数根，，且，证明.

Answer

（1）.（2）证明见解析

【解析】

（1）由f（﹣1）＝0，f′（x）＝（x+1）（ex﹣1），可得f′（﹣1）1．利用点斜式可得切线方程．

（2）由（1）知f（x）在（﹣1，0）处的切线方程s（x），令F（x）＝f（x）﹣s（x），求得导数和单调性，可得f（x）≥s（x），解方程s（x）＝b得其根x'1，运用函数的单调性，所以x'1≤x1，；另一方面，f（x）在点（1，2e﹣2）处的切线方程为t（x），构造G（x）＝f（x）﹣t（x），同理可得f（x）≥t（x），解方程t（x）＝b得其根x'2，运用函数的单调性，所以x2≤x'2．根据不等式的基本性质即可得出结论．

（1），

，，

所以切线方程为.

（2）由（1）知在点处的切线方程为.

设

构造，，

.

所以在上单调递减，在上单调递增.

又，，，所以在上单调递减，在上单调递增.所以.当且仅当时取“”

∵方程的根.又，由在上

单调递减，所以.

另一方面，在点处的切线方程为.

设

构造.

，.

所以在上单调递减，在上单调递增.

又，，，所以在上单调递减，在上单调递增.所以，

当且仅当时取“”

∵方程的根，又，由

在上单调递增，所以.所以，得证.