Question

设λ是正实数，（1+λx）²⁰的二项展开式为a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀x²⁰，其中a₀，a₁，…，a₂₀ ，…，均为常数

（1）若a₃＝12a₂，求λ的值；

（2）若a₅≥a_n对一切n∈{0，1，…，20}均成立，求λ的取值范围．

Answer

（1）λ＝2 （2）

【解析】

（1）根据通项公式可得Cλ3＝12Cλ2，解得λ＝2即可；

（2）假设第r+1项系数最大，根据题意列式，化简得，再根据a5≥an对一切n∈{0，1，…，20}均成立，得到，解不等式组即可得到答案.

（1）通项公式为Tr+1＝，r＝0，1，2，…，20，

∴由a3＝12a2得，Cλ3＝12Cλ2，解得λ＝2．

（2）假设第r+1项系数最大，因为λ是正实数，依题意得，

解得，变形得，

因为a5≥an对一切n∈{0，1，…，20}均成立，

∴∴，解得．