Question

如图，长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AD＝AA₁＝1，AB＝m，点M是棱CD的中点．

（1）求异面直线B₁C与AC₁所成的角的大小；

（2）是否存在实数m，使得直线AC₁与平面BMD₁垂直？说明理由；

（3）设P是线段AC₁上的一点（不含端点），满足λ，求λ的值，使得三棱锥B₁﹣CD₁C₁与三棱锥B₁﹣CD₁P的体积相等．

Answer

（1）90° （2）存在，m，理由见解析 （3）λ

【解析】

（1）根据题意只需证明平面，即可得到B1C⊥AC1，从而可得答案.

（2）存在实数m，使得直线AC1与平面BMD1垂直．只需证明BM⊥AC1，AC1⊥D1M，即可得到直线AC1⊥平面BMD1；

（3）计算，，设AC1 与平面B1CD1 的斜足为O，则AO＝2OC1，则P为AO的中点，从而可得答案.

（1）连接BC1，如图所示：

由四边形BCC1B1为正方形，可得B1C⊥BC1，

又ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，可得AB⊥B1C，而AB∩BC1＝B，

∴B1C⊥平面ABC1，而AC1⊂平面ABC1，∴B1C⊥AC1，

即异面直线B1C与AC1所成的角的大小为90°；

（2）存在实数m，使得直线AC1与平面BMD1垂直．

事实上，当m时，CM，

∵BC＝1，∴，则Rt△ABC∽Rt△BCM，

则∠CAB＝∠MBC，

∵∠CAB+∠ACB＝90°，∴∠MBC+∠ACB＝90°，即AC⊥BM，

又CC1⊥BM，AC∩CC1＝C，∴BM⊥平面ACC1，则BM⊥AC1，

同理可证AC1⊥D1M，

又D1M∩BM＝M，∴直线AC1⊥平面BMD1；

（3）∵，

，

设AC1 与平面B1CD1 的斜足为O，则AO＝2OC1，

∴在线段AC1上取一点P，要使三棱锥B1﹣CD1C1与三棱锥B1﹣CD1P的体积相等，

则P为AO的中点，即．