Question

设抛物线Γ的方程为y²＝4x，点P的坐标为（1，1）．

（1）过点P，斜率为﹣1的直线l交抛物线Γ于U，V两点，求线段UV的长；

（2）设Q是抛物线Γ上的动点，R是线段PQ上的一点，满足2，求动点R的轨迹方程；

（3）设AB，CD是抛物线Γ的两条经过点P的动弦，满足AB⊥CD．点M，N分别是弦AB与CD的中点，是否存在一个定点T，使得M，N，T三点总是共线？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）4 （2）（3y﹣1）2＝8（3x﹣1） （3）存在，T（3，0）

【解析】

（1）根据条件可知直线l方程为x+y﹣2＝0，联立直线与抛物线，根据弦长公式可得结果；

（2）设R（x0，y0），Q（x，y），根据2可得x，y，将其代入抛物线方程即可得到结果；

（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），设AB的方程为y＝k（x﹣1）+1，联立，根据韦达定理和中点公式可得点的坐标，同理可得的坐标，由斜率公式得的斜率，由点斜式可得的方程，根据方程可得结果.

（1）根据条件可知直线l方程为y＝﹣（x﹣1）+1，即x+y﹣2＝0，

联立，整理得x2﹣8x+4＝0，

则xU+xV＝8，xUxV＝4，

所以线段UV•|xU﹣xV|•4；

（2）设R（x0，y0），Q（x，y），则（x0﹣1，y0﹣1），（x﹣x0，y﹣y0），

根据2，则有2（x﹣x0）＝x0﹣1，2（y﹣y0）＝y0﹣1，所以x，y，

因为点Q在抛物线Γ上，所以（）2＝4•，整理得（3y0﹣1）2＝8（3x0﹣1），

即点R的运动轨迹方程为（3y﹣1）2＝8（3x﹣1）；

（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），

根据题意直线AB，CD的斜率存在且不为0，不妨设AB的方程为y＝k（x﹣1）+1，

联立，整理得k2x2﹣2（k2﹣k+2）x+（1﹣k）2＝0，

则x1+x2，所以可得M（，），

同理可得N（1+k+2k2，﹣k），

则kMN

所以直线MN的方程为y[x﹣（1+k+2k2）]﹣k（x﹣3），即直线MN过点（3，0），故存在一个定点T（3，0），使得M，N，T三点总是共线．