Question

已知数列的首项，，．设数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）求；

（3）设，（为正整数），问是否存在正整数，使得时恒有成立？若存在，请求出所有的范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）（3）不存在，见解析

【解析】

（1）判断数列为等差数列，计算得到通项公式.

（2）计算得到，分别计算为偶数和为奇数两种情况，利用分组求和法计算得到答案.

（3）不存在，当为奇数时，计算得到数列单调性，得到证明.

（1），故数列是等差数列

，

（2），

当为偶数时：

当为奇数时：

故

（3）不存在，

当为奇数时，

故，数列单调递减，故 ，故不存在