Question

已知椭圆的方程为，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于、两点，且，如图1.

（1）求圆的方程；

（2）如图1，过点的直线与椭圆相交于、两点，求证：射线平分；

（3）如图2所示，点、是椭圆的两个顶点，且第三象限的动点在椭圆上，若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试问：四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由.

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）是，.

【解析】

（1）根据已知条件设出圆心坐标,半径为圆心纵坐标,利用弦长公式,可求出圆的方程;

（2）先求出点坐标,设出直线方程,与椭圆方程联立,利用韦达定理,即可求得,命题得证;

（3）设,求出直线、直线方程，进而求出点与点的坐标,然后四边形的面积用点与点的坐标表示,计算可得定值.

（1）依题意,设圆心，

，解得

所求的方程为;

（2）代入圆方程，得或

若过点的直线斜率不存在,此时在轴上,

,射线平分,

若过点的直线斜率存在，设其方程为

联立，消去得,

设,,

,

,

射线平分,

（3）设,

直线方程为,令

得，即,

直线方程为,令

得，即,,

,

四边形的面积为定值.