Question

矩形中， ， ，点为中点，沿将折起至，如下图所示，点在面的射影落在上.

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题（Ⅰ）根据射影可得面面垂直，再有面面垂直的性质得线面垂直，从而；（Ⅱ）以为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，直线为轴，建立如图所示直角坐标系．利用空间向量计算二面角．

试题解析：（Ⅰ）由条件，点在平面的射影落在上

平面平面，易知

平面，而平面

（Ⅱ）以为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，直线为轴，建立如图所示直角坐标系．

则， ， ，

设平面的法向量为

则，即，令，可得

设平面的法向量为

则，即，令，可得

考虑到二面角为钝二面角，则二面角的余弦值为．