Question

已知函数，.

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）若实数为整数，且对任意的时，都有恒成立，求实数的最小值.

Answer

（Ⅰ）极大值为，无极小值；（Ⅱ）1.

【解析】

(Ⅰ)由题意首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号讨论原函数的单调性，从而可确定函数的极值；

(Ⅱ)结合题意分离参数，然后构造新函数，研究构造的函数，结合零点存在定理找到隐零点的范围，最后利用函数值的范围即可确定整数m的最小值.

(Ⅰ)设，

∴，

令，则；，则；

∴在上单调递增，上单调递减，

∴，无极小值.

(Ⅱ)由，即在上恒成立，

∴在上恒成立，

设，则，

显然，

设，则，故在上单调递减

由，，

由零点定理得，使得，即

且时，，则，

时，. 则

∴在上单调递增，在上单调递减

∴，

又由，，则

∴由恒成立，且为整数，可得的最小值为1.