Question

如图，在四棱锥中，为中点，侧棱，底面为直角梯形，其中，，平面，、分别是线段、上的动点，且.

（1）求证：平面；

（2）当三棱锥的体积取最大值时，求到平面的距离；

（3）在（2）的条件下求与平面所成角.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）证明和即可；

（2）根据体积最值关系求出分别为的中点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用公式求距离；

（3）结合第（2）问的法向量利用公式即可求出线面角.

（1）在中，为中点，侧棱，所以，

又因为平面，平面，所以，

是平面内两条相交直线，

所以平面；

（2），即，

，所以是等腰直角三角形，，

平面，平面，所以，

连接，

设，则，由（1）平面，

所以是点到平面的距离，

所以三棱锥的体积

，，当时，取得最大值

此时分别为的中点，

，所以四边形是平行四边形，，

所以四边形是正方形，，

以为原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：

则，

，

设平面的法向量，则，

取，则，

所以点到平面的距离；

（3）设与平面所成角为，

，

，

即与平面所成角为.