Question

如图，四边形是正方形，平面，，，，，分别为，，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的大小；

（3）在线段上是否存在一点，使直线与直线所成的角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）见解析（2）（3）见解析

【解析】

试题建立平面直角坐标系，由，，证得平面

建立空间直角坐标系，根据两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，由两个平面法向量所成的角求解二面角的大小；

⑶假设存在点，由共线向量基本定理得到点的坐标，其中含有一个未知量，然后利用直线与直线所成角为转化为两向量所成的角为，由两向量的夹角公式求出点的坐标，得到的点的坐标符合题意，说明假设成立，最后得到结论．

解析：（1）∵平面，，∴平面，

∴，，又四边形是正方形，

∴，故，，两两垂直，

如图，建立空间直角坐标系，∵，

∴，，，

，，，

∵，，分别为，，的中点，

∴，，，

，平面的一个法向量为，

又∵，

∴，又∵平面，∴平面.

（2），，

设为平面的一个法向量，

则，即，取，得，

，，

设为平面的一个法向量，则，

即，取得，

∴ ，

∴平面与平面所成锐二面角的大小为.

（3）假设在线段上存在一点，使直线与直线所成角为，

设，其中，由，则，

又∵，，∴，

∵直线与直线所成角为，，

∴，即，解得，

∴，，

∴在线段上存在一点，使直线与直线所成角为，此时.