Question

设为的内心，三边长，点在边上，且，若直线交直线于点，则线段的长为______.

Answer

【解析】

设内切圆⊙I与三角形三边分别相切于点O，D，E．IO⊥AB，建立直角坐标系．分别设AO＝x，BO＝y，CD＝z．利用切线的性质定理可得x，y，z．利用余弦定理可得cosB＝，sinB，tanB，可得直线BC的方程．设内切圆的半径为r．则＝，解得r，得I坐标，可得直线PI的方程，联立直线BC和PI解得Q．即可得|CQ|＝6﹣|BQ|．

如图所示，设内切圆⊙I与三角形三边分别相切于点O，D，E，IO⊥AB，建立直角坐标系．

分别设AO＝x，BO＝y，CD＝z，则，解得x＝3，y＝4，z＝2．O（0，0），B（4，0），P（﹣1，0），

在中，cosB＝＝，sinB＝，可得tanB＝．

直线BC的方程为：y＝（x﹣4）．

设内切圆的半径为r．则＝，解得r＝．可得I．

直线PI的方程为：y＝x+，即y＝x+．

联立，解得Q，

∴|CQ|＝6﹣|BQ|＝6﹣＝6﹣＝．

故答案为．