Question

设函数.

（1）讨论的单调区间；

（2）证明：若，对任意的，有．

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）先求导得到，令，通过对判别式的讨论得到的单调区间；（2）不妨设，要证明，只需证明，令

再利用导数证明即得证.

（1）

令

当时，即时，恒成立，

所以的单调增区间是，无减区间.

当时，即或，

设的两个零点为，

若，因为，所以都大于0，

所以当时，单调递增

当时，单调递减

当时，单调递增

若，，当即时，都不为正数，所以当时，单调递增.

当时，即时，，

所以当时，单调递减

当时，单调递增.

综上所述，当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为，

当时，的单调增区间是，无减区间.

当时，的单调递减区间为

的单调递增区间为，

（2）不妨设，要证明，只需证明

，只需证明

令

因为，所以，

在是增函数，所以时，

即.