Question

设函数，e为自然对数的底数.

（1）若在上单调递增，求的取值范围；

（2）证明：若，则．

Answer

（1）（2）见解析

【解析】

(1)利用导函数恒成立,求解即可.

(2)利用(1)中的结论与零点存在定理可得存在,使得,再利用隐零点的方法,求得在上的最小值,再代入极值点的关系化简证明即可.

【解析】
（1）因为在上单调递增,

所以恒成立.

令,当,

在上单调递增,

依题意有,得

（2）由（1）可知,在上单调递增,当时,

,,

存在,使得,

且当时,,即,在上单调递减

当时,,即,在上单调递增

所以在上的最小值为

,,,

,即成立

或者

,

,即成立