Question

如图，在平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝A₁D，AB＝BC，∠ABC＝120°.

（1）证明：AD⊥BA₁；

（2）若平面ADD₁A₁⊥平面ABCD，且A₁D＝AB，求直线BA₁与平面A₁B₁CD所成角的正弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）取AD中点O，连接OB，OA1，BD，推导出AD⊥OA1，△ABD是等边三角形，从而AD⊥OB，进而AD⊥平面A1OB，由此能证明AD⊥BA1.
（2）推导出OA、OA1、OB两两垂直，以O为坐标原点，分别以OA、OB、OA1所在射线为x、y、z轴建立空间直角坐标系O−xyz，利用向量法能求出直线BA1与平面A1B1CD所成角的正弦值.

证明：（1）取AD中点O，连接OB，OA1，BD，

∵AA1＝A1D，∴AD⊥OA1，

又∠ABC＝120°，AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，

∴AD⊥OB，∴AD⊥平面A1OB，

∵A1B⊂平面A1OB，∴AD⊥A1B.

（2）∵平面ADD1A1⊥平面ABCD，

平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，

又A1O⊥AD，∴A1O⊥平面ABCD，∴OA、OA1、OB两两垂直，

以O为坐标原点，分别以OA、OB、OA1所在射线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，

设AB＝AD＝A1D＝2，则A（1，0，0），，，D（﹣1，0，0），.

则，，，

设平面A1B1CD的法向量

则，令，则y＝1，z＝﹣1，可取，

设直线BA1与平面A1B1CD所成角为θ，

则.

∴直线BA1与平面A1B1CD所成角的正弦值为.