Question

已知直线x＝﹣2上有一动点Q，过点Q作直线l，垂直于y轴，动点P在l₁上，且满足(O为坐标原点)，记点P的轨迹为C．

（1）求曲线C的方程；

（2）已知定点M(，0)，N(，0)，点A为曲线C上一点，直线AM交曲线C于另一点B，且点A在线段MB上，直线AN交曲线C于另一点D，求△MBD的内切圆半径r的取值范围．

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）设点P的坐标为（x，y），结合题意得出点Q的坐标，再利用向量数量积的运算可得出点P的轨迹方程；

（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、D（x3，y3），设直线AM的方程为，将该直线方程与曲线C的方程联立，结合韦达定理进行计算得出点B和点D的横坐标相等，于是得出BD⊥x轴，根据几何性质得出△MBD的内切圆圆心H在x轴上，且该点与切点的连线与AB垂直．

方法一是计算出△MBD的面积和周长，利用等面积法可得出其内切圆的半径的表达式；

方法二是设H（x2﹣r，0），直线BD的方程为x＝x2，写出直线AM的方程，利用点H到直线AB和AM的距离相等得出r的表达式；

方法三是利用△MTH∽△MEB，得出，然后通过计算得出△MBD内切圆半径r的表达式．

通过化简得到r关于x2的函数表达式，并换元，将函数关系式转化为r关于t的函数关系式，然后利用单调性可求出r的取值范围．

（1）设点，则 ∴，

∵ ∴，即

（2）设，，，直线与轴交点为，内切圆与的切点为．

设直线的方程为：，则联立方程，得：

∴且 ∴ ∴直线的方程为：，

与方程联立得：，化简得：

解得：或 ∵ ∴轴

设的内切圆圆心为，则在轴上且

方法（一）∴，且的周长为：

∴

∴ .

方法（二）设，直线的方程为：，其中

直线的方程为：，即，且点与点在直线的同侧，

∴，解得：

方法（三）∵ ∴，即，解得：

令，则

∴在上单调增，则，即的取值范围为．