Question

在平面直角坐标系中，①已知点，，为曲线上任一点，到点的距离和到点的距离的比值为2；②圆经过，，且圆心在直线上.从①②中任选一个条件.

（1）求曲线的方程；

（2）若直线被曲线截得弦长为2，求的值.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）若选择条件①，根据平面直角坐标系上任意两点的距离公式计算，化简可得.

若选择条件②，求出直线的方程，的中点坐标，即可得到的垂直平分线的方程，联立得到圆心坐标，再用两点的距离公式求出半径，即可得解.

（2）根据弦长求出圆心到直线的距离，利用点到线的距离公式求出参数的值.

【解析】
（1）选择条件①

则，即，

所以，整理得：，即.

选择条件②，

，的中点为，，

所以的垂直平分线方程为，即，

所以，解得圆心.

，所以曲线的方程为.

（2）直线被曲线截得弦长为2，圆心到直线的距离

.

由点到直线的距离公式，

解得.