Question

已知抛物线：的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点，的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点，设不垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点，，若，证明直线过定点并写出定点坐标.

Answer

（1）（2）证明见解析,恒过定点

【解析】

（1）先求出的外接圆的半径长，再利用抛物线的定义可求出的值，从而得出抛物线的方程；

（2）设的方程为，，，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，等价于即可得到、的关系，即可得到直线恒过定点.

【解析】
（1）因为的外接圆与抛物线的准线相切，

所以的外接圆的圆心到准线的距离等于半径，

因为外接圆的周长为，所以圆的半径为3，

又圆心在的垂直平分线上，，

，解得：，

所以抛物线的方程为.

（2）设的方程为，，，

由得，，则.

所以，，

因为，所以，

即，化简得，

所以，所以，

所以的方程为，恒过定点.