Question

正方形的边长为2，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，平面平面.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）利用正方形的性质可得垂直于面，得到又，所以再由已知条件即可证明．

（2）作，垂足为，由（1）得，平面，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值.

【解析】
（1）由已知可得，平面平面，平面，，

平面平面，所以平面，

，又，所以，又，

且，所以平面.

（2）作，垂足为，由（1）得，平面.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

由（1）可得，.又，，所以.故.

可得，.

则，，，，，，，

由（1）知：为平面的法向量，.

设平面的法向量为，则：，即，

所以，令，则，.

则.

所以二面角的余弦值为.