Question

已知椭圆：的离心率为，椭圆的四个顶点构成的四边形面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若是椭圆上的一点，过且斜率等于的直线与椭圆交于另一点，点关于原点的对称点为.求面积的最大值及取最大值时直线的方程.

Answer

（1）；（2）取得最大值.此时直线的方程为

【解析】

（1）利用已知条件求出，，即可得到椭圆方程．

（2）设，，则，直线的斜率，利用点差法可得与的关系，求出，设方程为，联立直线与椭圆方程，列出韦达定理，表示出三角形的面积，即可计算面积最值.

【解析】
（1）根据题意，椭圆：的离心率为，则有，

以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为，则有，

又，解得，.

故椭圆的方程为.

（2）设，，

则，直线的斜率，

由，两式相减，，

由直线，所以.

连结，因为，关于原点对称，所以，设方程为，

由，

整理得：，，得.

，，

.

所以当时，取得最大值.此时直线的方程为.