Question

如图四棱锥中，底面是正方形，，，且，为中点．

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值．

Answer

(1)证明见解析；(2) .

【解析】

（1）推导出，，从而平面，进而．求出，由此能证明平面．

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．

（1）∵底面为正方形，

∴，

又，，

∴平面，

∴.

同理，，

∴平面.

（2）建立如图的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2.则

，，，

设为平面的一个法向量，又，，

，令，，得

同理是平面的一个法向量，

则.

∴二面角的余弦值为.