Question

已知函数,,,其中.

（1）求函数的单调区间；

（2）若对任意,总存在,使得成立,求的取值范围.

Answer

（1）减区间为，增区间为（2）

【解析】

（1）求导后,令导函数大于的解集即为增区间,令导函数小于的解集即为减区间;

（2）问题等价于函数在上的值域包含于函数在上的值域,再求解即可.

（1）函数的定义域为,,

令,解得,令,解得,

函数的减区间为,增区间为;

（2）依题意,函数在上的值域包含于函数在上的值域,

由（1）可知,函数在上单调递增,故值域为,

由得,

①当时,恒成立,故函数在上单调递增,此时值域为,故不符合题意;

② 当时,的解集为,的解集为,

故函数在上单调递减,在上单调递增,

且,

当时,函数在上单调递减,在上单调递增,此时值域为,

则此时需要,即,

当时,不可能成立,故不符合题意;

当时,在上恒成立,则函数在上单调递减,

此时值域为,则,解得;

综上所述,实数a的取值范围为.