Question

如图所示，海中一小岛C周围nmile内有暗礁，货轮由西向东航行至A处测得小岛C位于北偏东75°方向上，航行8nmile后，于B处测得小岛C在北偏东60°方向上.

（1）如果这艘货轮不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？请说明理由.

（2）如果有触礁的危险，这艘货轮在B处改变航向为南偏东α°（α>0）方向航行，顺利绕过暗礁，求a的最大值.（附：）

Answer

（1）有,详见解析（2）a的最大值为

【解析】

（1）（方法一）：过点C作AB的垂线，交AB延长线于点D.，在Rt△BCD中，可求出，从而可判断是否有触礁的危险；

（方法二）过点C作AB的垂线，交AB延长线于点D，设垂线段CD的长度为xnmile，BD为ynmile，从而可得进而可求出x=4，

（2）延长CD至E，使nmile，并连接BE，结合（1），在中即可求解.

【解析】
（1）（方法一）：有.

理由：如图，过点C作AB的垂线，交AB延长线于点D.

由已知得∠CAB=15°，∠CBD=30°，所以∠ACB=15°，

所以AB=BC=8nmile，所以在Rt△BCD中，（nmile）.

又，所以货轮有触礁的危险.

（方法二）有.

理由：如图，过点C作AB的垂线，交AB延长线于点D，

设垂线段CD的长度为xnmile，BD为ynmile.

则即

所以，解得x=4.

因为，所以货轮有触礁的危险.

（2）如图，延长CD至E，使nmile，并连接BE，

故nmile，

由（1）得nmile，

所以.

因为，

所以，即.

所以.

所以α的最大值为75.