Question

已知函数（为实数常数）

（1）当时，求函数在上的单调区间；

（2）当时，成立，求证：．

Answer

(1) 单调递增区间是，单调递减区间是．(2)证明见解析

【解析】

（1）先求出函数的导函数，再解不等式与，从而求出函数的单调区间；

（2）当时，由等价于恒成立，再分别讨论：①当时，②当时，③当时，利用导数研究函数的单调性及最值从而得解.

【解析】
（1）因为，所以，

当时，由得，解得，

由得，解得，

所以函数在的单调递增区间是，单调递减区间是．

（2）当时，由得

即恒成立（*），

设，则，由题可知

①当时，，所以在上单调递增，

，可知且时，，使得，可知（*）式不成立，则不符合条件；

②当时，，所以在上单调递减，

，可知（*）式成立，则符合条件，所以成立；

③当时，由得，由得，

所以在上单调递增，可知在上单调递减，

所以，由（*）式得，

设，则，所以在上单调递减，

而，，可知．

综上所述，．