Question

椭圆焦点在轴上，离心率为，上焦点到上顶点距离为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线与椭圆交与两点，为坐标原点，的面积，则是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由.

Answer

（1）（2）为定值5.

【解析】

（1）运用椭圆的离心率公式和两点的距离公式，及的关系，解得，进而得到椭圆方程；

（2）设，讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于，结合三角形的面积公式，点到直线的距离公式和弦长公式，化简整理，即可得到所求和为定值5.

（1）由题意可得，

解得，

可得，

即有椭圆的标准方程为：；

（2）设，

（1）当斜率不存在时，两点关于轴对称，

，

又，解得，

；

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为,

由题意知，将其代入，得

，

即有，

则，到距离，

则，

解得，满足，

则，

即有，

，

综上可得为定值5.