Question

已知二次函数f（x）满足f（0）=2，f（x）-f（x-1）=2x+1，求函数f（x²+1）的最小值．

Answer

【解析】

设f（x）=ax2+bx+c，a≠0，推导出f（0）=c=2，2ax-a+b=2x+1，从而f（x）=x2+2x+2，由此能求出函数f（x2+1）的最小值．

【解析】
∵二次函数f（x）满足f（0）=2，f（x）-f（x-1）=2x+1，

∴设f（x）=ax2+bx+c，a≠0，

∴f（0）=c=2．

ax2+bx+c-a（x-1）2-b（x-1）-c=2x+1．

∴2ax-a+b=2x+1，

∴，解得，

∴f（x）=x2+2x+2，

令t=x2+1，则t≥1．

函数f（x2+1）即为f（t）=t2+2t+2=（t+1）2+1，

又f（t）在[1，+∞）上单调递增．

∴f（t）min=f（1）=5，

∴函数f（x2+1）的最小值为5．