Question

已知命题P：函数且|f（a）|＜2，命题Q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}且A∩B=∅，

（1）分别求命题P、Q为真命题时的实数a的取值范围；

（2）当实数a取何范围时，命题P、Q中有且仅有一个为真命题；

（3）设P、Q皆为真时a的取值范围为集合S，，若∁_RT⊆S，求m的取值范围.

Answer

（1）a∈（﹣4，+∞）；（2）a∈（﹣5，﹣4]∪[7，+∞）；（3）m∈（0，4]

【解析】

（1）由题意可得，由|f（a）|＝||＜2解不等式可得P：a∈（﹣5，7）；由A∩B＝∅，可得A有两种情况①若A＝∅，则△＝（a+2）（a+2）﹣4＜0，②若A≠φ，则，解可得Q；

（2）当P为真，则；当Q为真，则可求

（3）当P，Q都为真时，可求S＝（﹣4，7），利用基本不等式可求T，进而可求∁RT，然后根据∁RT⊆S，可求

【解析】
（1）由题意可得，由|f（a）|＝||＜2可得﹣6＜a﹣1＜6

解可得，﹣5＜a＜7

∴P：a∈（﹣5，7）

∵集合A＝{x|x2+（a+2）x+1＝0，x∈R}，B＝{x|x＞0}且A∩B＝∅，

①若A＝∅，则△＝（a+2）（a+2）﹣4＜0，即﹣4＜a＜0

②若A≠φ，则，解可得，a≥0

综上可得，a＞﹣4

∴Q：a∈（﹣4，+∞）

（2）当P为真，则，a∈（﹣5，﹣4]；

当Q为真，则，a∈[7，+∞）

所以a∈（﹣5，﹣4]∪[7，+∞）

（3）当P，Q都为真时，即S＝（﹣4，7）

∵

∴

综上m∈（0，4]