Question

已知椭圆的焦点和长轴长.

（1）设直线交椭圆于两点，求线段的中点坐标.

（2）求过点的直线被椭圆所截弦的中点的轨迹方程.

Answer

（1）（2），其中

【解析】

（1）根据焦点坐标得出椭圆的焦点在x轴上，由椭圆的焦点坐标得出c的值，再由长轴的值求出a的值，进而利用椭圆的性质求出b的值，确定出椭圆的标准方程，与直线y＝x+2联立，消去y得到关于x的一元二次方程，设出两交点A与B的坐标，利用根与系数的关系求出两根之和，即为两交点横坐标之和，利用中点坐标公式即可求出AB中点M的横坐标，代入直线方程可得M的纵坐标，进而确定出线段AB的中点坐标；

（2）设过点（0，2）的直线方程的斜率为k，表示出直线方程，与椭圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，由直线与椭圆有两个不同的交点，得到根的判别式大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，设出直线与椭圆的两交点坐标，利用韦达定理表示出两交点横坐标之和，利用中点坐标公式表示出线段AB中点C的横坐标，代入直线方程可得C的纵坐标，消去参数k即可得到所求的轨迹方程．

（1）由已知条件得椭圆的焦点在x轴上，其中，从而，

所以其标准方程是:

联立方程组，消去得,

设线段中点为

那么

所以

也就是说线段中点坐标为

（2）设直线方程为

把它代入

整理得:

要使直线和椭圆有两个不同交点，则，即

设直线与椭圆两个交点为

中点坐标为，则

从参数方程，

消去得：，且

综上，所求轨迹方程为，其中