Question

正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁ 的棱长为 2，且AC 与BD 交于点O，E 为棱DD₁ 中点，以A 为原点，建立空间直角坐标系A－xyz，如图所示.

(Ⅰ)求证：B₁O⊥平面EAC；

(Ⅱ)若点F 在EA 上且B₁F⊥AE，试求点F 的坐标；

(Ⅲ)求二面角B₁－EA－C 的正弦值.

Answer

(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) (Ⅲ)

【解析】

证明：(I) 由题设知下列各点的坐标A(0, 0, 0),B(2, 0, 0),C (2, 2, 0),

D (0, 2, 0),E (0, 2, 1),B1(2, 0, 2)．

∵O是正方形ABCD的中心，∴O (1, 1, 0)．

∴= (－1, 1, －2)，= (2, 2, 0)，= (0,2, 1)．

∴·= (－1, 1, －2)·(2, 2, 0)

= －1·2 + 1·2－2·0 = 0．

·= (－1, 1, －2)·(0, 2, 1)

= －1·0 + 1·2－2·1 = 0．

∴

即B1O ⊥AC，B1O⊥AE，

∴B1O⊥平面ACE．

(II) 由F点在AE上，可设点F的坐标为F (0, 2l,l)，

则= (－2, 2l,l－2)．

= (－2, 2l,l－2)·(0, 2, 1) = 5l－2 = 0，

∴l= ,

∴．

(III) ∵B1O⊥平面EAC，B1F⊥AE，连结OF，由三垂线定理的逆定理得OF⊥AE．

∴∠OFB1即为二面角B1－EA－C的平面角．

∴=

又=，

∴= = ．

在Rt△B1OF中，sin∠B1FO= = ．

故二面角B1－EA－C的正弦值为．